Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2+2 И y=4-x

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
математика площадь фигуры интегралы кривые пересечение функций квадратная функция линейная функция
0

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2+2 И y=4-x

avatar
задан 5 месяцев назад

3 Ответа

0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x2+2 и y=4x, сначала необходимо определить точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем уравнения:

x2+2=4x.

Решим это уравнение:

x2+x+2=4,

x2+x2=0.

Теперь найдем корни квадратного уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта или через разложение на множители. Найдем дискриминант D:

D=b24ac=1241(2)=1+8=9.

Корни уравнения:

x1,2=b±D2a=1±32.

Таким образом, корни:

x1=1+32=1,

x2=132=2.

Значит, точки пересечения кривых находятся при x=2 и x=1.

Теперь, чтобы найти площадь между этими кривыми на отрезке от x=2 до x=1, вычислим интеграл разности функций на этом интервале. Площадь A равна:

A=21((4x)(x2+2))dx.

Упростим подынтегральное выражение:

A=21(4xx22)dx,

A=21(x2x+2)dx.

Теперь найдём первообразную для каждого члена:

  1. x2dx=x33,
  2. xdx=x22,
  3. 2dx=2x.

Таким образом, первообразная будет:

F(x)=x33x22+2x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

Missing or unrecognized delimiter for \right_{-2}^{1}. ]

Вычислим:

[ \begin{align} F1 &= -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2, \ F2 &= -\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 22 = \frac{8}{3} - 2 - 4. \end{align} ]

Подставим и найдем разность:

A=(1312+2)(8324).

Посчитаем отдельно:

Для F(1 ):

1312+2=1336+126=26+126=106=53.

Для F(2 ):

8324=836=83183=103.

Теперь разность:

A=53(103)=53+103=153=5.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 5 квадратным единицам.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+2 и y=4-x, необходимо найти точки их пересечения, которые будут представлять собой границы данной фигуры.

  1. Начнем с нахождения точек пересечения графиков функций: y = x^2 + 2 и y = 4 - x x^2 + 2 = 4 - x x^2 + x - 2 = 0 x+2x1 = 0 x = -2 или x = 1

Точки пересечения графиков: 2,4 и 1,3.

  1. Теперь необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Для этого нужно найти интеграл от разности данных функций на интервале от x=-2 до x=1: S = ∫a;b f(x)g(x) dx S = ∫2;1 (x2+2)(4x) dx S = ∫2;1 x2+x2 dx S = x3/3+x2/22x |2;1 S = [(1^3/3 + 1^2/2 - 21) - (2^3/3 + 2^2/2 - 22)] S = 1/3+1/22(8/3+24) S = 1/3+1/22+8/32+4 S = 13/6

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+2 и y=4-x, равна 13/6 около2,17.

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме