Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2+2 И y=4-x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 + 2 ) и ( y = 4 - x ), сначала необходимо определить точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем уравнения:

[ x^2 + 2 = 4 - x. ]

Решим это уравнение:

[ x^2 + x + 2 = 4, ]

[ x^2 + x - 2 = 0. ]

Теперь найдем корни квадратного уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта или через разложение на множители. Найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2}. ]

Таким образом, корни:

[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, ]

[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2. ]

Значит, точки пересечения кривых находятся при ( x = -2 ) и ( x = 1 ).

Теперь, чтобы найти площадь между этими кривыми на отрезке от ( x = -2 ) до ( x = 1 ), вычислим интеграл разности функций на этом интервале. Площадь ( A ) равна:

[ A = \int_{-2}^{1} ((4 - x) - (x^2 + 2)) \, dx. ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ A = \int_{-2}^{1} (4 - x - x^2 - 2) \, dx, ]

[ A = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx. ]

Теперь найдём первообразную для каждого члена:

1. (\int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} ),
2. (\int -x \, dx = -\frac{x^2}{2} ),
3. (\int 2 \, dx = 2x ).

Таким образом, первообразная будет:

[ F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x. ]

Теперь подставим пределы интегрирования:

[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}. ]

Вычислим:

[ \begin{align} F(1) &= -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2, \ F(-2) &= -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = \frac{8}{3} - 2 - 4. \end{align} ]

Подставим и найдем разность:

[ A = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right). ]

Посчитаем отдельно:

Для ( F(1) ):

[ -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{-2}{6} + \frac{12}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}. ]

Для ( F(-2) ):

[ \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{10}{3}. ]

Теперь разность:

[ A = \frac{5}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{5}{3} + \frac{10}{3} = \frac{15}{3} = 5. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 5 квадратным единицам.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+2 и y=4-x, необходимо найти точки их пересечения, которые будут представлять собой границы данной фигуры.

1. Начнем с нахождения точек пересечения графиков функций: y = x^2 + 2 и y = 4 - x x^2 + 2 = 4 - x x^2 + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = -2 или x = 1

Точки пересечения графиков: (-2, 4) и (1, 3).

1. Теперь необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Для этого нужно найти интеграл от разности данных функций на интервале от x=-2 до x=1: S = ∫[a;b] [f(x) - g(x)] dx S = ∫[-2;1] [(x^2 + 2) - (4 - x)] dx S = ∫[-2;1] [x^2 + x - 2] dx S = (x^3/3 + x^2/2 - 2x) |[-2;1] S = [(1^3/3 + 1^2/2 - 21) - ((-2)^3/3 + (-2)^2/2 - 2(-2))] S = [1/3 + 1/2 - 2 - (-8/3 + 2 - 4)] S = [1/3 + 1/2 - 2 + 8/3 - 2 + 4] S = 13/6

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+2 и y=4-x, равна 13/6 (около 2,17).