Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2+2 И y=4-x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=x^2+2$ и $y=4-x$, сначала необходимо определить точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем уравнения:

$x^2+2=4-x.$

Решим это уравнение:

$x^2+x+2=4,$

$x^2+x-2=0.$

Теперь найдем корни квадратного уравнения. Это можно сделать с помощью дискриминанта или через разложение на множители. Найдем дискриминант $D$:

$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9.$

Корни уравнения:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-1\pm 3}{2}.$

Таким образом, корни:

$x_1=\frac{-1+3}{2}=1,$

$x_2=\frac{-1-3}{2}=-2.$

Значит, точки пересечения кривых находятся при $x=-2$ и $x=1$.

Теперь, чтобы найти площадь между этими кривыми на отрезке от $x=-2$ до $x=1$, вычислим интеграл разности функций на этом интервале. Площадь $A$ равна:

$A={\int }_{-2}^1((4-x)-(x^2+2))dx.$

Упростим подынтегральное выражение:

$A={\int }_{-2}^1(4-x-x^2-2)dx,$

$A={\int }_{-2}^1(-x^2-x+2)dx.$

Теперь найдём первообразную для каждого члена:

1. $\int -x^{2}dx=-\frac{x^3}{3}$,
2. $\int -xdx=-\frac{x^2}{2}$,
3. $\int 2dx=2x$.

Таким образом, первообразная будет:

$F(x)=-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x.$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{-2}^{1}. ]

Вычислим:

[ \begin{align} F$1$ &= -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2, \ F$-2$ &= -\frac{$-2$^3}{3} - \frac{$-2$^2}{2} + 2$-2$ = \frac{8}{3} - 2 - 4. \end{align} ]

Подставим и найдем разность:

$A=(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2)-(\frac{8}{3}-2-4).$

Посчитаем отдельно:

Для $F(1$ ):

$-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2=-\frac{1}{3}-\frac{3}{6}+\frac{12}{6}=\frac{-2}{6}+\frac{12}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.$

Для $F(-2$ ):

$\frac{8}{3}-2-4=\frac{8}{3}-6=\frac{8}{3}-\frac{18}{3}=-\frac{10}{3}.$

Теперь разность:

$A=\frac{5}{3}-(-\frac{10}{3})=\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=\frac{15}{3}=5.$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 5 квадратным единицам.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+2 и y=4-x, необходимо найти точки их пересечения, которые будут представлять собой границы данной фигуры.

1. Начнем с нахождения точек пересечения графиков функций: y = x^2 + 2 и y = 4 - x x^2 + 2 = 4 - x x^2 + x - 2 = 0 $x+2$$x-1$ = 0 x = -2 или x = 1

Точки пересечения графиков: $-2,4$ и $1,3$.

1. Теперь необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками. Для этого нужно найти интеграл от разности данных функций на интервале от x=-2 до x=1: S = ∫$a;b$ $f(x)-g(x)$ dx S = ∫$-2;1$ $(x^2+2)-(4-x)$ dx S = ∫$-2;1$ $x^2+x-2$ dx S = $x^3/3+x^2/2-2x$ |$-2;1$ S = [(1^3/3 + 1^2/2 - 21) - $(-2$^3/3 + $-2$^2/2 - 2$-2$)] S = $1/3+1/2-2-(-8/3+2-4)$ S = $1/3+1/2-2+8/3-2+4$ S = 13/6

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2+2 и y=4-x, равна 13/6 $около2,17$.