Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x-5 , y=0, х=1, х=3.( с графиком)

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 6x - 5 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 3 ), необходимо выполнить несколько шагов, в том числе построить график и использовать интегралы.

1. Построение графика функции ( y = -x^2 + 6x - 5 ):

   • Найдём вершину параболы. Вершина параболы ( ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). Здесь ( a = -1 ), ( b = 6 ), поэтому вершина находится в точке ( x = -\frac{6}{-2} = 3 ).
   • Подставим ( x = 3 ) в уравнение: [ y = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 4).

2. Найдем точки пересечения параболы с осью ( x ) (где ( y = 0 )):

   • Решим уравнение ( -x^2 + 6x - 5 = 0 ): [ -x^2 + 6x - 5 = 0 \implies x^2 - 6x + 5 = 0 \implies (x - 5)(x - 1) = 0 \implies x = 1 \text{ или } x = 5 ]
   • Таким образом, парабола пересекает ось ( x ) в точках ( (1, 0) ) и ( (5, 0) ).

3. Ограничим область интегрирования от ( x = 1 ) до ( x = 3 ). Площадь под кривой между этими точками можно найти с помощью определённого интеграла: [ \text{Площадь} = \int_{1}^{3} (-x^2 + 6x - 5) \, dx ]

4. Вычислим интеграл:

   • Найдём первообразную функции ( -x^2 + 6x - 5 ): [ \int (-x^2 + 6x - 5) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x + C ]
   • Вычислим значение первообразной в пределах от 1 до 3: [ \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{3} ] Подставим ( x = 3 ): [ -\frac{3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 = -9 + 27 - 15 = 3 ] Подставим ( x = 1 ): [ -\frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} ]
   • Найдём разницу: [ 3 - \left( -\frac{7}{3} \right) = 3 + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 6x - 5 ), ( y = 0 ), ( x = 1 ) и ( x = 3 ), равна ( \frac{16}{3} ) квадратных единиц.

График функции ( y = -x^2 + 6x - 5 )

Ниже представлен график функции ( y = -x^2 + 6x - 5 ) и обозначены границы ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

  y
  |
 4|                  *
 3|                 * * 
 2|                *   *
 1|               *     *
 0|*-------------*-------*-------------* x
-1|       *    *         *         *
-2|        *  *           *      *
-3|         **
-4|

• Точки (1, 0) и (3, 0) обозначают границы интегрирования.
• Вершина параболы находится в точке (3, 4).

Эти данные подтверждают, что площадь фигуры равна ( \frac{16}{3} ) квадратных единиц.

Площадь фигуры равна 5.5.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения, а затем интегрировать функцию, описывающую границы фигуры, между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения. Для этого приравняем уравнение параболы и прямой: -y = -x^2 + 6x - 5 0 = -x^2 + 6x - 5 x^2 - 6x + 5 = 0 (x - 1)(x - 5) = 0 x = 1, x = 5

Таким образом, точки пересечения линии y = -x^2 + 6x - 5 и оси X находятся в точках (1,0) и (5,0). Также у нас есть границы фигуры х = 1 и х = 3.

Теперь построим график функции y = -x^2 + 6x - 5:

(График параболы, проходящей через точки (1,0) и (5,0))

Далее, для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо найти интеграл функции y = -x^2 + 6x - 5 на отрезке [1,3]:

∫[1,3] (-x^2 + 6x - 5) dx = [-x^3/3 + 3x^2 - 5x] [1,3] = (-(3^3)/3 + 3(3)^2 - 5(3)) - (-(1^3)/3 + 3(1)^2 - 5(1)) = (-9 + 27 - 15) - (-1/3 + 3 - 5) = 3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x - 5, y = 0, x = 1, x = 3, равна 3 квадратным единицам.