Вычислите: tg (5п/6)

Чтобы вычислить тангенс угла ( \frac{5\pi}{6} ), нужно использовать тригонометрические свойства и преобразования. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Определение угла: [ \frac{5\pi}{6} ] Этот угол находится во второй четверти тригонометрической окружности, так как он больше (\pi/2) и меньше (\pi).

2. Тригонометрическая идентичность: Используем идентичность для тангенса: [ \tan(\pi - \theta) = -\tan(\theta) ] Здесь: [ \pi - \theta = \frac{5\pi}{6} ] Следовательно, [ \theta = \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6} ]

3. Значение тангенса для (\frac{\pi}{6}): Известно, что: [ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

4. Применение идентичности: Теперь используем идентичность для тангенса: [ \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) ] Подставляем значение: [ \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} ]

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе: [ -\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} ]

Этот результат подтверждает, что угол (\frac{5\pi}{6}) находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, и численно равен (\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)) по абсолютному значению.

Чтобы вычислить тангенс угла 5π/6, нам нужно знать сначала значение тангенса угла π/6, так как 5π/6 = π - π/6. Тангенс угла π/6 равен √3/3. Так как тангенс является нечетной функцией, то tg(5π/6) = -tg(π/6) = -√3/3. Таким образом, tg(5π/6) = -√3/3.