Вычислите значение производной функции y=tg4x, в точке x нулевое равное -п/4

Чтобы вычислить значение производной функции $y=\tan (4x$ ) в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$, сначала найдем производную этой функции.

Шаг 1: Найдем производную функции

Используем правило дифференцирования для функции тангенса. Производная функции $\tan (u$ ) по переменной $u$ равна ${\sec }^2(u$ ). В нашем случае, $u=4x$, и нам нужно также применить правило цепочки.

Таким образом, производная функции $y=\tan (4x$ ) будет вычисляться как:

$\frac{dy}{dx}={\sec }^2(4x)\cdot \frac{d(4x)}{dx}={\sec }^2(4x)\cdot 4$

Итак, производная функции:

$\frac{dy}{dx}=4{\sec }^2(4x)$

Шаг 2: Найдем значение производной в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$

Теперь подставим $x_0=-\frac{\pi }{4}$ в выражение производной:

$\frac{dy}{dx}{|}_{x=-\frac{\pi }{4}}=4{\sec }^2\left(4(-\frac{\pi }{4})\right)$

Упрощаем аргумент функции:

$4(-\frac{\pi }{4})=-\pi$

Таким образом, нам нужно вычислить ${\sec }^2(-\pi$ ). Поскольку $\sec (x$ = \frac{1}{\cos$x$} ), мы имеем:

${\sec }^2(-\pi )=\frac{1}{{\cos }^2(-\pi )}$

С учетом того, что $\cos (-\pi$ = -1 ):

${\sec }^2(-\pi )=\frac{1}{(-1{)}^2}=1$

Шаг 3: Подставим значение ${\sec }^2(-\pi$ ) обратно в производную

Теперь подставим найденное значение обратно в производную:

$\frac{dy}{dx}{|}_{x=-\frac{\pi }{4}}=4\cdot 1=4$

Ответ

Таким образом, значение производной функции $y=\tan (4x$ ) в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$ равно $4$.

Для вычисления значения производной функции $y=\tan (4x$ ) в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$, разберем задачу по шагам.

Шаг 1. Найдем производную функции $y=\tan (4x$ )

Функция $\tan (4x$ ) представляет собой сложную функцию. Здесь внутренняя функция — это $4x$, а внешняя функция — это $\tan (u$ ), где $u=4x$. Производная тангенса имеет вид:

$\frac{d}{dx}(\tan (u))={\sec }^2(u),$

где $\sec (u$ = \frac{1}{\cos$u$} ).

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Производная $y=\tan (4x$ ) будет равна:

$y^{\prime }=\frac{d}{dx}(\tan (4x))={\sec }^2(4x)\cdot \frac{d}{dx}(4x)={\sec }^2(4x)\cdot 4.$

Таким образом, производная функции:

$y^{\prime }=4{\sec }^2(4x).$

Шаг 2. Подставим $x_0=-\frac{\pi }{4}$ в производную

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$. Для этого подставим $x_0$ в выражение $y^{\prime }=4{\sec }^2(4x$ ):

$y^{\prime }(-\frac{\pi }{4})=4{\sec }^2(4\cdot -\frac{\pi }{4}).$

Упростим аргумент функции:

$4\cdot -\frac{\pi }{4}=-\pi .$

Таким образом:

$y^{\prime }(-\frac{\pi }{4})=4{\sec }^2(-\pi ).$

Шаг 3. Найдем значение $\sec (-\pi$ )

Функция $\sec (u$ ) — это $\frac{1}{\cos (u)}$. Поскольку $\cos (-\pi$ = \cos$\pi$ = -1 ) $из-зачетностикосинуса$, то:

$\sec (-\pi )=\frac{1}{\cos (-\pi )}=\frac{1}{-1}=-1.$

Теперь возведем $\sec (-\pi$ ) в квадрат:

${\sec }^2(-\pi )=(-1{)}^2=1.$

Шаг 4. Подставим значение ${\sec }^2(-\pi$ ) в производную

Подставляем ${\sec }^2(-\pi$ = 1 ) в выражение для производной:

$y^{\prime }(-\frac{\pi }{4})=4\cdot 1=4.$

Ответ:

Значение производной функции $y=\tan (4x$ ) в точке $x_0=-\frac{\pi }{4}$ равно:

$\boxed{{\displaystyle 4}}.$