Выполните действия:а)(3х+у²)(3х-у²). б)(а³-6a)². в)(а-х)²(x+a)²

а) Чтобы выполнить умножение, используем формулу разности квадратов: [ (3x + y^2)(3x - y^2) = (3x)^2 - (y^2)^2 = 9x^2 - y^4. ]

б) Используем формулу квадрата разности: [ (a^3 - 6a)^2 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 6a + (6a)^2 = a^6 - 12a^4 + 36a^2. ]

в) Используем формулу произведения квадратов: [ (a - x)^2(x + a)^2 = ((a - x)(x + a))^2 = (a^2 - x^2)^2. ]

Конечно! Давайте разберем подробно каждую часть задания:

а) (3x + y²)(3x - y²)

Это произведение двух двучленов можно решить по формуле разности квадратов: [ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 ]

Здесь: [ a = 3x, \quad b = y^2 ]

Подставим в формулу: [ (3x + y^2)(3x - y^2) = (3x)^2 - (y^2)^2 ]

Выполним возведение в квадрат: [ (3x)^2 = 9x^2 \quad \text{и} \quad (y^2)^2 = y^4 ]

Следовательно: [ (3x + y^2)(3x - y^2) = 9x^2 - y^4 ]

Ответ: [ \boxed{9x^2 - y^4} ]

б) (a³ - 6a)²

Здесь мы имеем квадрат выражения — это формула квадрата суммы или разности: [ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ]

В данном случае: [ a = a^3, \quad b = 6a ]

Подставим в формулу: [ (a^3 - 6a)^2 = (a^3)^2 - 2(a^3)(6a) + (6a)^2 ]

Выполним каждое действие:

1. ((a^3)^2 = a^6),
2. (2(a^3)(6a) = 12a^4),
3. ((6a)^2 = 36a^2).

Теперь соберем всё вместе: [ (a^3 - 6a)^2 = a^6 - 12a^4 + 36a^2 ]

Ответ: [ \boxed{a^6 - 12a^4 + 36a^2} ]

в) (a - x)²(x + a)²

Здесь мы видим произведение квадратов двух выражений. Сначала разберем каждое выражение отдельно, а затем перемножим их.

1. Разберем квадрат каждого выражения:

   Формула для квадрата суммы/разности: [ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 ]

   • Для ((a - x)^2): [ (a - x)^2 = a^2 - 2ax + x^2 ]

   • Для ((x + a)^2): [ (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 ]

2. Перемножим ((a - x)^2) и ((x + a)^2):

   Нам нужно умножить: [ (a^2 - 2ax + x^2) \cdot (x^2 + 2ax + a^2) ]

   Раскроем скобки, используя распределительный закон. Умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

   [ (a^2 - 2ax + x^2)(x^2 + 2ax + a^2) = a^2(x^2) + a^2(2ax) + a^2(a^2) - 2ax(x^2) - 2ax(2ax) - 2ax(a^2) + x^2(x^2) + x^2(2ax) + x^2(a^2) ]

   Теперь упростим каждое произведение:

   • (a^2(x^2) = a^2x^2),
   • (a^2(2ax) = 2a^3x),
   • (a^2(a^2) = a^4),
   • (-2ax(x^2) = -2ax^3),
   • (-2ax(2ax) = -4a^2x^2),
   • (-2ax(a^2) = -2a^3x),
   • (x^2(x^2) = x^4),
   • (x^2(2ax) = 2ax^3),
   • (x^2(a^2) = a^2x^2).

   Теперь сложим все полученные члены: [ a^4 + x^4 + 2a^3x - 2a^3x - 2ax^3 + 2ax^3 + a^2x^2 + a^2x^2 - 4a^2x^2 ]

   Упростим, собрав подобные слагаемые:

   • (a^4),
   • (x^4),
   • (2a^3x - 2a^3x = 0),
   • (-2ax^3 + 2ax^3 = 0),
   • (a^2x^2 + a^2x^2 - 4a^2x^2 = -2a^2x^2).

   Окончательный результат: [ a^4 + x^4 - 2a^2x^2 ]

Ответ: [ \boxed{a^4 + x^4 - 2a^2x^2} ]

Итак, ответы на все пункты:

1. а) (9x^2 - y^4),
2. б) (a^6 - 12a^4 + 36a^2),
3. в) (a^4 + x^4 - 2a^2x^2).

Давайте рассмотрим каждое из предложенных выражений и выполним необходимые действия.

а) ((3x + y^2)(3x - y^2))

Это произведение можно упростить, используя формулу разности квадратов:

[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ]

В нашем случае:

• (a = 3x)
• (b = y^2)

Применяя формулу, получаем:

[ (3x + y^2)(3x - y^2) = (3x)^2 - (y^2)^2 ]

Теперь вычислим каждое из квадратов:

[ (3x)^2 = 9x^2 ] [ (y^2)^2 = y^4 ]

Таким образом, итоговое выражение будет:

[ 9x^2 - y^4 ]

б) ((a^3 - 6a)^2)

Чтобы упростить это выражение, используем формулу квадрата разности:

[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ]

В данном случае:

• (a = a^3)
• (b = 6a)

Применяем формулу:

[ (a^3 - 6a)^2 = (a^3)^2 - 2(a^3)(6a) + (6a)^2 ]

Теперь вычислим каждую часть:

1. ((a^3)^2 = a^6)
2. (-2(a^3)(6a) = -12a^4)
3. ((6a)^2 = 36a^2)

Соединив все вместе, получаем:

[ a^6 - 12a^4 + 36a^2 ]

в) ((a - x)^2(x + a)^2)

Сначала упростим каждое из выражений в квадрате. Начнем с первого:

[ (a - x)^2 = a^2 - 2ax + x^2 ]

И теперь второе:

[ (x + a)^2 = a^2 + 2ax + x^2 ]

Теперь мы можем перемножить оба выражения:

[ (a^2 - 2ax + x^2)(a^2 + 2ax + x^2) ]

Здесь мы можем использовать формулу (a - b)(a + b) для (a = a^2 + x^2) и (b = 2ax):

[ (a^2 + x^2)^2 - (2ax)^2 ]

Вычислим каждую часть:

1. ((a^2 + x^2)^2 = a^4 + 2a^2x^2 + x^4)
2. ((2ax)^2 = 4a^2x^2)

Теперь подставим обратно:

[ (a^2 + x^2)^2 - (2ax)^2 = (a^4 + 2a^2x^2 + x^4) - 4a^2x^2 ]

Упрощаем:

[ a^4 - 2a^2x^2 + x^4 ]

Таким образом, результат для каждого из пунктов:

а) (9x^2 - y^4)
б) (a^6 - 12a^4 + 36a^2)
в) (a^4 - 2a^2x^2 + x^4)