Выполните действия:а)3x/x+3 + 3x/x-3. Б)x^2+2x/2-3x : x^2+4x+4/3x-2

Давайте решим оба выражения по порядку.

a) ( \frac{3x}{x + 3} + \frac{3x}{x - 3} )

Чтобы сложить эти дроби, нам нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен произведению ( (x + 3)(x - 3) ).

Теперь преобразуем обе дроби:

1. Первая дробь: [ \frac{3x}{x + 3} = \frac{3x(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{3x^2 - 9x}{(x + 3)(x - 3)} ]

2. Вторая дробь: [ \frac{3x}{x - 3} = \frac{3x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x^2 + 9x}{(x - 3)(x + 3)} ]

Теперь складываем дроби: [ \frac{3x^2 - 9x + 3x^2 + 9x}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{6x^2}{(x + 3)(x - 3)} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \frac{6x^2}{(x + 3)(x - 3)} ]

b) ( \frac{x^2 + 2x}{2 - 3x} : \frac{x^2 + 4x + 4}{3x - 2} )

Для деления дробей мы можем умножить первую дробь на обратную вторую дробь: [ \frac{x^2 + 2x}{2 - 3x} \cdot \frac{3x - 2}{x^2 + 4x + 4} ]

Теперь упрощаем:

1. Первая дробь: [ x^2 + 2x = x(x + 2) ]

2. Вторая дробь: [ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 ]

Теперь подставляем в выражение: [ \frac{x(x + 2)}{2 - 3x} \cdot \frac{3x - 2}{(x + 2)^2} ]

Теперь сокращаем ( (x + 2) ): [ \frac{x}{2 - 3x} \cdot \frac{3x - 2}{x + 2} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \frac{x(3x - 2)}{(2 - 3x)(x + 2)} ]

Теперь мы завершили оба задания. Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите рассмотреть другие примеры, дайте знать!

Давайте разберём задание по пунктам, выполняя действия шаг за шагом, и подробно объясним процесс.

Задание а)

Необходимо выполнить сложение двух дробей:

[ \frac{3x}{x+3} + \frac{3x}{x-3}. ]

Шаг 1: Приведение дробей к общему знаменателю

Знаменатели дробей (x+3) и (x-3) различны, поэтому сначала определим общий знаменатель. Общим знаменателем будет произведение ( (x+3)(x-3) ). Таким образом, приведём дроби к общему знаменателю:

[ \frac{3x}{x+3} = \frac{3x \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)}, ]

[ \frac{3x}{x-3} = \frac{3x \cdot (x+3)}{(x+3)(x-3)}. ]

Шаг 2: Запись с общим знаменателем

Теперь можем записать сумму дробей с общим знаменателем:

[ \frac{3x}{x+3} + \frac{3x}{x-3} = \frac{3x(x-3) + 3x(x+3)}{(x+3)(x-3)}. ]

Шаг 3: Упрощение числителя

Раскроем скобки в числителе:

[ 3x(x-3) + 3x(x+3) = 3x^2 - 9x + 3x^2 + 9x. ]

[ 3x^2 - 9x + 3x^2 + 9x = 6x^2. ]

Таким образом, дробь принимает вид:

[ \frac{6x^2}{(x+3)(x-3)}. ]

Шаг 4: Упрощение результата

Окончательный ответ для пункта а:

[ \frac{6x^2}{(x+3)(x-3)}. ]

Задание б)

Необходимо выполнить деление двух выражений:

[ \frac{x^2 + 2x}{2 - 3x} : \frac{x^2 + 4x + 4}{3x - 2}. ]

Шаг 1: Превращение деления в умножение

Деление дробей можно заменить умножением, перевернув вторую дробь. То есть:

[ \frac{x^2 + 2x}{2 - 3x} : \frac{x^2 + 4x + 4}{3x - 2} = \frac{x^2 + 2x}{2 - 3x} \cdot \frac{3x - 2}{x^2 + 4x + 4}. ]

Шаг 2: Упрощение знаменателей и числителей

1. Рассмотрим числитель первой дроби (x^2 + 2x). Вынесем общий множитель (x):

[ x^2 + 2x = x(x+2). ]

1. Рассмотрим знаменатель второй дроби (x^2 + 4x + 4). Это полный квадрат:

[ x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2. ]

Теперь перепишем выражение с учётом упрощений:

[ \frac{x(x+2)}{2 - 3x} \cdot \frac{3x - 2}{(x+2)^2}. ]

Шаг 3: Замена (2 - 3x) на (-(3x - 2))

Заметим, что (2 - 3x = -(3x - 2)). Подставим это в выражение:

[ \frac{x(x+2)}{-(3x - 2)} \cdot \frac{3x - 2}{(x+2)^2}. ]

Шаг 4: Сокращение

Теперь можно сократить:

1. (3x - 2) в числителе и знаменателе.
2. Один множитель (x+2) в числителе и знаменателе.

После сокращений остаётся:

[ \frac{x}{-(x+2)}. ]

Шаг 5: Упрощение результата

Упростим выражение, вынеся минус в числитель:

[ -\frac{x}{x+2}. ]

Окончательный ответ:

а) (\frac{6x^2}{(x+3)(x-3)}),

б) (-\frac{x}{x+2}).