Выражение 1-tg^2 a / 1+tg^2 a можно преобразовать к виду.

(1 - tan^2 a) / (1 + tan^2 a) = cos^2 a / sin^2 a = cot^2 a

Выражение (\frac{1 - \tan^2 a}{1 + \tan^2 a}) можно преобразовать с использованием тригонометрических тождеств. Начнем с того, что вспомним одно из основных тригонометрических тождеств:

[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} ]

Теперь подставим это в наше выражение:

[ \frac{1 - \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}} ]

Упростим дроби в числителе и знаменателе:

[ \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cos^2 a + \sin^2 a} ]

Далее, воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:

[ \cos^2 a - \sin^2 a = \cos 2a ]

и

[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 ]

Таким образом, наше выражение принимает вид:

[ \frac{\cos 2a}{1} = \cos 2a ]

Следовательно, (\frac{1 - \tan^2 a}{1 + \tan^2 a}) преобразуется в (\cos 2a). Это показывает, что данное выражение является косинусом двойного угла.

Для преобразования данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Сначала заметим, что tg^2 a = sin^2 a / cos^2 a. Заменим tg^2 a на это выражение:

1 - sin^2 a / cos^2 a / 1 + sin^2 a / cos^2 a

Далее приведем общий знаменатель:

(cos^2 a - sin^2 a) / cos^2 a / (cos^2 a + sin^2 a) / cos^2 a

Теперь используем формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b), где a = cos^2 a и b = sin^2 a:

(cos a + sin a) / cos^2 a * (cos a - sin a) / cos^2 a

Таким образом, выражение 1 - tg^2 a / 1 + tg^2 a можно преобразовать к виду (cos a + sin a) / cos^2 a * (cos a - sin a) / cos^2 a.