$X-5$/$x+3$+14/$x-3$=48/$x^2-9$

Для решения данного уравнения сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет $x+3$$x-3$, так как это произведение всех знаменателей.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

$x-5$/$x+3$ = $(x-5$$x-3$)/$(x+3$$x-3$) 14/$x-3$ = 14/$x-3$ 48/$x^2-9$ = 48/$(x+3$$x-3$)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(x-5$$x-3$)/$(x+3$$x-3$) + 14/$x-3$ = 48/$(x+3$$x-3$)

Упростим числитель первой дроби:

$x^2-8x+15+14(x+3$)/$(x+3$$x-3$) = 48/$(x+3$$x-3$)

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

$x^2-8x+15+14x+42$/$(x+3$$x-3$) = 48/$(x+3$$x-3$)

Упростим числитель первой дроби:

$x^2+6x+57$/$(x+3$$x-3$) = 48/$(x+3$$x-3$)

Теперь умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от знаменателей:

x^2 + 6x + 57 = 48

Решим полученное квадратное уравнение:

x^2 + 6x + 57 - 48 = 0 x^2 + 6x + 9 = 0 $x+3$$x+3$ = 0

x = -3 $кратныйкорень$

Таким образом, корень уравнения x = -3.

Рассмотрим уравнение:

$\frac{x-5}{x+3}+\frac{14}{x-3}=\frac{48}{x^2-9}$

Первый шаг — упростить правую часть уравнения. Заметим, что $x^2-9$ можно разложить на множители:

$x^2-9=(x+3)(x-3)$

Таким образом, уравнение становится:

$\frac{x-5}{x+3}+\frac{14}{x-3}=\frac{48}{(x+3)(x-3)}$

Теперь приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+3$$x-3$):

$\frac{(x-5)(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{14(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{48}{(x+3)(x-3)}$

Выполним умножение в числителях левой части:

$\frac{(x-5)(x-3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x^2-3x-5x+15}{(x+3)(x-3)}=\frac{x^2-8x+15}{(x+3)(x-3)}$

$\frac{14(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{14x+42}{(x+3)(x-3)}$

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

$\frac{x^2-8x+15+14x+42}{(x+3)(x-3)}=\frac{48}{(x+3)(x-3)}$

Сложим числители:

$x^2-8x+15+14x+42=x^2+6x+57$

Получаем:

$\frac{x^2+6x+57}{(x+3)(x-3)}=\frac{48}{(x+3)(x-3)}$

Теперь числители обеих дробей должны быть равны, так как знаменатели уже равны:

$x^2+6x+57=48$

Переносим 48 в левую часть уравнения:

$x^2+6x+57-48=0$

$x^2+6x+9=0$

Это квадратное уравнение можно решить через разложение на множители или через дискриминант. Заметим, что данное уравнение является полным квадратом:

$(x+3{)}^2=0$

Отсюда:

$x+3=0$

$x=-3$

Однако, $x=-3$ является корнем знаменателя, который обращает его в ноль, что приводит к неопределённости. Таким образом, данное значение не является допустимым решением уравнения.

Следовательно, уравнение не имеет допустимых решений.