(X-5)/(x+3)+14/(x-3)=48/(x^2-9)

Для решения данного уравнения сначала приведем все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет (x+3)(x-3), так как это произведение всех знаменателей.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

(x-5)/(x+3) = ((x-5)(x-3))/((x+3)(x-3)) 14/(x-3) = 14/(x-3) 48/(x^2-9) = 48/((x+3)(x-3))

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

((x-5)(x-3))/((x+3)(x-3)) + 14/(x-3) = 48/((x+3)(x-3))

Упростим числитель первой дроби:

(x^2 - 8x + 15 + 14(x+3))/((x+3)(x-3)) = 48/((x+3)(x-3))

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

(x^2 - 8x + 15 + 14x + 42)/((x+3)(x-3)) = 48/((x+3)(x-3))

Упростим числитель первой дроби:

(x^2 + 6x + 57)/((x+3)(x-3)) = 48/((x+3)(x-3))

Теперь умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от знаменателей:

x^2 + 6x + 57 = 48

Решим полученное квадратное уравнение:

x^2 + 6x + 57 - 48 = 0 x^2 + 6x + 9 = 0 (x + 3)(x + 3) = 0

x = -3 (кратный корень)

Таким образом, корень уравнения x = -3.

Рассмотрим уравнение:

[ \frac{x-5}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{48}{x^2-9} ]

Первый шаг — упростить правую часть уравнения. Заметим, что ( x^2 - 9 ) можно разложить на множители:

[ x^2 - 9 = (x+3)(x-3) ]

Таким образом, уравнение становится:

[ \frac{x-5}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{48}{(x+3)(x-3)} ]

Теперь приведём левую часть уравнения к общему знаменателю ((x+3)(x-3)):

[ \frac{(x-5)(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{14(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{48}{(x+3)(x-3)} ]

Выполним умножение в числителях левой части:

[ \frac{(x-5)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x^2 - 3x - 5x + 15}{(x+3)(x-3)} = \frac{x^2 - 8x + 15}{(x+3)(x-3)} ]

[ \frac{14(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{14x + 42}{(x+3)(x-3)} ]

Теперь объединим дроби с общим знаменателем:

[ \frac{x^2 - 8x + 15 + 14x + 42}{(x+3)(x-3)} = \frac{48}{(x+3)(x-3)} ]

Сложим числители:

[ x^2 - 8x + 15 + 14x + 42 = x^2 + 6x + 57 ]

Получаем:

[ \frac{x^2 + 6x + 57}{(x+3)(x-3)} = \frac{48}{(x+3)(x-3)} ]

Теперь числители обеих дробей должны быть равны, так как знаменатели уже равны:

[ x^2 + 6x + 57 = 48 ]

Переносим 48 в левую часть уравнения:

[ x^2 + 6x + 57 - 48 = 0 ]

[ x^2 + 6x + 9 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить через разложение на множители или через дискриминант. Заметим, что данное уравнение является полным квадратом:

[ (x + 3)^2 = 0 ]

Отсюда:

[ x + 3 = 0 ]

[ x = -3 ]

Однако, ( x = -3 ) является корнем знаменателя, который обращает его в ноль, что приводит к неопределённости. Таким образом, данное значение не является допустимым решением уравнения.

Следовательно, уравнение не имеет допустимых решений.