(X^2-7)^2-4(x^2-7)-45=0"

Для решения данного уравнения, сначала раскроем скобки:

(X^2-7)^2 = X^4 - 14X^2 + 49

4(x^2-7) = 4X^2 - 28

Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:

(X^4 - 14X^2 + 49) - (4X^2 - 28) - 45 = 0

X^4 - 14X^2 + 49 - 4X^2 + 28 - 45 = 0

X^4 - 18X^2 + 32 = 0

Теперь введем новую переменную Y = X^2 и перепишем уравнение:

Y^2 - 18Y + 32 = 0

Далее решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-18)^2 - 4132 = 324 - 128 = 196

Y1 = (18 + √196) / 2 = (18 + 14) / 2 = 16

Y2 = (18 - √196) / 2 = (18 - 14) / 2 = 2

Теперь найдем значения X:

X1 = √16 = 4

X2 = √2 = ±√2

Итак, корни данного уравнения X^4 - 18X^2 + 32 = 0 равны X = 4, X = √2 и X = -√2.

Для упрощения уравнения ((x^2-7)^2-4(x^2-7)-45=0) можно ввести замену ( y = x^2 - 7 ). Тогда уравнение примет вид:

[ y^2 - 4y - 45 = 0. ]

Далее решим квадратное уравнение относительно ( y ). Коэффициенты здесь: ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = -45 ). Дискриминант уравнения вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196. ]

Корень из дискриминанта равен ( \sqrt{196} = 14 ). Теперь найдем корни уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 14}{2} = 9 \text{ и } -5. ]

Таким образом, мы получаем два значения ( y ):

1. ( y = 9 )
2. ( y = -5 )

Вспомним, что ( y = x^2 - 7 ). Подставим обратно значения ( y ):

1. ( x^2 - 7 = 9 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 )
2. ( x^2 - 7 = -5 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} )

Итак, решениями исходного уравнения являются следующие значения ( x ): ( \pm 4 ) и ( \pm \sqrt{2} ).