X^2n/(x^n-1)^2 С объяснением пожалуйста Заранее спасибо !

Конечно! Давайте разберем выражение ( \frac{x^{2n}}{(x^n - 1)^2} ) и попробуем упростить его или понять его свойства.

Шаг 1: Понимание выражения

Мы имеем дробь, где числитель — это ( x^{2n} ), а знаменатель — это квадрат разности ( (x^n - 1)^2 ).

Шаг 2: Разложение числителя и знаменателя

1. Числитель: ( x^{2n} ) — это просто ( x ) в степени ( 2n ).

2. Знаменатель: ( (x^n - 1)^2 ) — это квадрат разности ( x^n ) и 1. В разложенном виде: [ (x^n - 1)(x^n - 1) ]

Шаг 3: Анализ выражения

Поскольку знаменатель представляет собой квадрат разности ( x^n ) и 1, он всегда будет положительным для любого ( x ) и ( n ), кроме случаев, когда ( x = 1 ) или ( x = 0 ).

Шаг 4: Упрощение выражения

Выражение можно упростить, рассмотрев случаи, когда ( x ) принимает конкретные значения:

1. Когда ( x = 1 ): [ \frac{1^{2n}}{(1^n - 1)^2} = \frac{1}{0} ] Это выражение неопределено, поскольку знаменатель становится нулем.

2. Когда ( x = 0 ): [ \frac{0^{2n}}{(0^n - 1)^2} = \frac{0}{1} = 0 ]

3. Когда ( x \neq 0 ) и ( x \neq 1 ):

   В этом случае выражение можно оставить в исходной форме, так как нет явного способа дальнейшего упрощения: [ \frac{x^{2n}}{(x^n - 1)^2} ]

Шаг 5: Свойства выражения

1. Симметрия: Выражение не симметрично относительно ( x ) или ( n ).

2. Поведением при больших значениях ( x ): Когда ( x ) становится очень большим: [ x^{2n} \gg (x^n - 1)^2 ] Таким образом, выражение будет стремиться к ( x^{2n-2n} = 1 ).

3. Поведением при малых значениях ( x ): Когда ( x ) очень мал (близко к нулю, но не равно нулю): [ x^{2n} \text{ будет стремиться к } 0 \text{ быстрее, чем } (x^n - 1)^2. ] Поэтому выражение будет стремиться к нулю.

Заключение

Выражение ( \frac{x^{2n}}{(x^n - 1)^2} ) имеет особенности при ( x = 0 ) и ( x = 1 ). В остальных случаях оно не имеет простого дальнейшего упрощения, однако его поведение можно описать для больших и малых значений ( x ).

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться свойствами степеней.

Имеем:

x^2n/(x^n-1)^2 = (x^n)^2 / (x^n-1)^2

Затем применяем свойство степени степени:

(x^n)^2 = x^2n

(x^n-1)^2 = (x^n-1)(x^n-1) = x^2n - 2x^n + 1

Подставляем это обратно в исходное выражение:

(x^2n) / (x^2n - 2x^n + 1)

Таким образом, расширенный ответ на заданный вопрос будет:

x^2n / (x^n-1)^2 = (x^2n) / (x^2n - 2x^n + 1)

Ответ: x^n/(x-1)^2

Объяснение: Для упрощения данного выражения мы можем использовать свойство степеней - (a^m)^n = a^(m*n). Таким образом, мы можем переписать x^2n как (x^n)^2. После этого мы можем разделить x^n на (x^n-1)^2, что приведет к итоговому ответу x^n/(x-1)^2.