Y=0,5x^4 - 4x^2 иследовать функцию и построить ее график

Для исследования функции ( y = 0.5x^4 - 4x^2 ) выполним анализ, включающий нахождение производных, критических точек, экстремумов, точек перегиба и построение графика.

1. Область определения

Функция ( y = 0.5x^4 - 4x^2 ) определена для всех ( x \in \mathbb{R} ).

2. Нули функции

Решим уравнение ( 0.5x^4 - 4x^2 = 0 ):

[ 0.5x^2(x^2 - 8) = 0 ]

Отсюда ( x^2 = 0 ) или ( x^2 = 8 ).

• ( x = 0 )
• ( x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} )

Таким образом, нули функции: ( x = 0, \, x = \pm 2\sqrt{2} ).

3. Поведение на бесконечности

При ( x \to \pm \infty ), старший член ( 0.5x^4 ) доминирует, следовательно, ( y \to +\infty ).

4. Производные

Первая производная

[ y' = \frac{d}{dx}(0.5x^4 - 4x^2) = 2x^3 - 8x ]

Критические точки найдём, решив уравнение ( 2x^3 - 8x = 0 ):

[ 2x(x^2 - 4) = 0 ]

Отсюда ( x = 0 ) или ( x^2 = 4 ).

• ( x = 0 )
• ( x = \pm 2 )

Вторая производная

[ y'' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 8x) = 6x^2 - 8 ]

Решим уравнение ( 6x^2 - 8 = 0 ) для нахождения точек перегиба:

[ 6x^2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} ]

5. Исследование на экстремумы

• На интервале ( (-\infty, -2) ), ( y' < 0 ), функция убывает.
• В точке ( x = -2 ), ( y' = 0 ). При переходе через ( x = -2 ), ( y' ) меняет знак с минуса на плюс, значит, ( x = -2 ) — точка минимума.
• На интервале ( (-2, 0) ), ( y' > 0 ), функция возрастает.
• В точке ( x = 0 ), ( y' = 0 ). При переходе через ( x = 0 ), ( y' ) меняет знак с плюса на минус, значит, ( x = 0 ) — точка максимума.
• На интервале ( (0, 2) ), ( y' < 0 ), функция убывает.
• В точке ( x = 2 ), ( y' = 0 ). При переходе через ( x = 2 ), ( y' ) меняет знак с минуса на плюс, значит, ( x = 2 ) — точка минимума.
• На интервале ( (2, +\infty) ), ( y' > 0 ), функция возрастает.

6. Точки перегиба

• В точках ( x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} ) производная ( y'' = 0 ). Это точки перегиба, поскольку знак ( y'' ) меняется.

7. График функции

На основании проведенного анализа можно построить график функции. На графике будут видны точки пересечения с осью ( x ), экстремумы в точках ( x = -2, 0, 2 ) и точки перегиба в ( x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} ).

Заключение

Функция ( y = 0.5x^4 - 4x^2 ) имеет следующие свойства:

• Четыре нуля в точках ( x = 0 ) и ( x = \pm 2\sqrt{2} ).
• Точки минимума в ( x = -2 ) и ( x = 2 ).
• Точка максимума в ( x = 0 ).
• Точки перегиба в ( x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} ).
• Функция возрастает на интервалах ( (-2, 0) ) и ( (2, +\infty) ) и убывает на интервалах ( (-\infty, -2) ) и ( (0, 2) ).

Такой анализ позволяет полностью охарактеризовать поведение функции и построить её график.

Для исследования функции Y=0,5x^4 - 4x^2 сначала вычислим производные этой функции.

Первая производная: Y' = 2x^3 - 8x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 2x^3 - 8x = 0 2x(x^2 - 4) = 0 2x(x + 2)(x - 2) = 0

Отсюда получаем, что x=0, x=-2, x=2. Подставим эти значения обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения Y.

Когда x=0, Y=0 Когда x=-2, Y=8 Когда x=2, Y=8

Таким образом, точки экстремума функции это точки (0,0), (-2,8) и (2,8).

Теперь найдем вторую производную для определения выпуклости и вогнутости функции: Y'' = 6x^2 - 8

Когда x=0, Y''=-8 (вогнутость) Когда x=-2, Y''=20 (выпуклость) Когда x=2, Y''=20 (выпуклость)

Таким образом, функция Y=0,5x^4 - 4x^2 имеет точки экстремума в (0,0), (-2,8) и (2,8), а также является вогнутой при x=0 и выпуклой при x=-2 и x=2.

Для построения графика этой функции можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Wolfram Alpha. График будет иметь форму, соответствующую описанным выше свойствам функции.