Y=7+6x-2x^(3/2) ( найти точку максимума)
Y=7+6x-2x^(3/2) ( найти точку максимума)
Для нахождения точки максимума функции Y=7+6x-2x^(3/2) необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.
Y' = 6 - 3x^(1/2)
Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю:
6 - 3x^(1/2) = 0 3x^(1/2) = 6 x^(1/2) = 2 x = 4
Теперь найдем значение Y в точке x=4:
Y = 7 + 64 - 24^(3/2) Y = 7 + 24 - 2*8 Y = 7 + 24 - 16 Y = 15
Таким образом, точка максимума функции Y=7+6x-2x^(3/2) равна (4, 15).
Для нахождения точки максимума функции ( Y = 7 + 6x - 2x^{3/2} ), нужно выполнить следующие шаги:
Вычисление первой производной функции ( Y ):
Производная функции ( Y ) относительно ( x ) поможет найти критические точки, где функция может иметь экстремумы (максимумы или минимумы). [ Y = 7 + 6x - 2x^{3/2} ] Сначала найдём производную каждого слагаемого: [ \frac{d}{dx}(7) = 0 ] [ \frac{d}{dx}(6x) = 6 ] Для нахождения производной от ( -2x^{3/2} ) используем правило дифференцирования степенной функции: [ \frac{d}{dx}(-2x^{3/2}) = -2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = -3x^{1/2} ] Таким образом, первая производная функции будет: [ Y' = 0 + 6 - 3x^{1/2} = 6 - 3x^{1/2} ]
Нахождение критических точек:
Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. В данном случае: [ 6 - 3x^{1/2} = 0 ] Решаем это уравнение: [ 3x^{1/2} = 6 ] [ x^{1/2} = 2 ] [ x = 4 ]
Проверка второй производной или анализ первой производной для определения максимума:
Для подтверждения, что найденная критическая точка является точкой максимума, можно использовать вторую производную.
Сначала найдём вторую производную: [ Y' = 6 - 3x^{1/2} ] Найдём производную от ( Y' ): [ Y'' = \frac{d}{dx}(6 - 3x^{1/2}) = -3 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = -\frac{3}{2} x^{-1/2} ]
Подставим ( x = 4 ) в вторую производную: [ Y''(4) = -\frac{3}{2} (4)^{-1/2} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} ]
Поскольку ( Y''(4) < 0 ), в точке ( x = 4 ) функция имеет локальный максимум.
Таким образом, точка максимума функции ( Y = 7 + 6x - 2x^{3/2} ) находится при ( x = 4 ).
