Y= корень x^2-3x+2; y=1/корень x^2-4. Найти область определения

Для того чтобы найти область определения функции Y, необходимо учесть два момента:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
2. Подкоренное выражение в корне должно быть неотрицательным числом, так как корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.

Для первого случая, где y = корень x^2 - 3x + 2, знаменатель равен корню из x^2 - 3x + 2. Найдем условие, при котором знаменатель не равен нулю:

x^2 - 3x + 2 ≠ 0

(x - 1)(x - 2) ≠ 0

x ≠ 1, x ≠ 2

Таким образом, область определения для первой функции Y: x ∈ (-∞, 1) U (1, 2) U (2, +∞).

Для второго случая, где y = 1/корень x^2 - 4, знаменатель равен корню из x^2 - 4. Найдем условие, при котором знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение неотрицательно:

x^2 - 4 > 0

(x - 2)(x + 2) > 0

x < -2, x > 2

Таким образом, область определения для второй функции Y: x ∈ (-∞, -2) U (2, +∞).

Итак, область определения функции Y будет пересечением областей определения двух функций, то есть: x ∈ (-∞, -2) U (1, 2) U (2, +∞).

Для нахождения области определения функции необходимо определить, при каких значениях ( x ) выражения под корнями и в знаменателе имеют смысл.

1. Функция ( y = \sqrt{x^2 - 3x + 2} )

Чтобы функция имела смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным: [ x^2 - 3x + 2 \geq 0 ]

Решим неравенство:

1. Найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - 3x + 2 = 0 ) с помощью теоремы Виета или дискриминанта: [ (x - 1)(x - 2) = 0 ] Корни: ( x = 1 ) и ( x = 2 ).

2. Определим знаки многочлена на числовой прямой, разбивая её на интервалы с учетом найденных корней: ((-\infty, 1)), ([1, 2]), ((2, \infty)).

3. Проверим знаки на каждом интервале:

   • На интервале ((-\infty, 1)) выберем точку ( x = 0 ), подставим в выражение: ( 0^2 - 3 \times 0 + 2 = 2 > 0 ).
   • На интервале ([1, 2]) выберем точку ( x = 1.5 ), подставим в выражение: ( 1.5^2 - 3 \times 1.5 + 2 = -0.25 < 0 ).
   • На интервале ((2, \infty)) выберем точку ( x = 3 ), подставим в выражение: ( 3^2 - 3 \times 3 + 2 = 2 > 0 ).

Таким образом, область определения для первой функции: ( x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) ).

2. Функция ( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} )

Для существования функции необходимо, чтобы выражение под корнем было положительным (так как корень в знаменателе): [ x^2 - 4 > 0 ]

Решим неравенство:

1. Найдем корни уравнения ( x^2 - 4 = 0 ): [ (x - 2)(x + 2) = 0 ] Корни: ( x = 2 ) и ( x = -2 ).

2. Определим знаки многочлена на числовой прямой, разбивая её на интервалы с учетом корней: ((-\infty, -2)), ((-2, 2)), ((2, \infty)).

3. Проверим знаки на каждом интервале:

   • На интервале ((-\infty, -2)) выберем точку ( x = -3 ), подставим в выражение: ( (-3)^2 - 4 = 5 > 0 ).
   • На интервале ((-2, 2)) выберем точку ( x = 0 ), подставим в выражение: ( 0^2 - 4 = -4 < 0 ).
   • На интервале ((2, \infty)) выберем точку ( x = 3 ), подставим в выражение: ( 3^2 - 4 = 5 > 0 ).

Таким образом, область определения для второй функции: ( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ).

Итоговая область определения

Для совместной области определения обеих функций, необходимо взять пересечение найденных областей:

• ( (-\infty, 1] \cup [2, \infty) ) и ( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ).

Пересечение:

• ( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ).

Итак, итоговая область определения для обеих функций: ( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ).