Y=log4(x^2+6x+25)-5 Наименьшее значение Помогите пожалуйста :3

Чтобы найти наименьшее значение функции ( Y = \log_4(x^2 + 6x + 25) - 5 ), сначала необходимо рассмотреть выражение внутри логарифма: ( x^2 + 6x + 25 ).

Шаг 1: Анализ выражения ( x^2 + 6x + 25 )

Это квадратичная функция. Можно привести её к каноническому виду, используя метод завершения квадрата:

[ x^2 + 6x + 25 = (x^2 + 6x + 9) + 16 = (x + 3)^2 + 16 ]

Здесь мы видим, что ( (x + 3)^2 ) — это квадратное выражение, которое всегда неотрицательно. Следовательно, наименьшее значение достигается, когда ( (x + 3)^2 = 0 ), то есть:

[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 ]

Подставляя ( x = -3 ) назад в выражение, получаем:

[ x^2 + 6x + 25 = (0) + 16 = 16 ]

Таким образом, наименьшее значение выражения ( x^2 + 6x + 25 ) равно 16.

Шаг 2: Подстановка в функцию ( Y )

Теперь подставим это значение в функцию ( Y ):

[ Y = \log_4(16) - 5 ]

Зная, что ( 16 = 4^2 ), можно записать:

[ \log_4(16) = \log_4(4^2) = 2 ]

Теперь подставим это значение в выражение для ( Y ):

[ Y = 2 - 5 = -3 ]

Результат

Таким образом, наименьшее значение функции ( Y = \log_4(x^2 + 6x + 25) - 5 ) равно ( -3 ), и оно достигается при ( x = -3 ).

Давайте разберем задачу поэтапно, чтобы найти наименьшее значение функции ( Y = \log_4(x^2 + 6x + 25) - 5 ).

1. Область определения функции

Функция ( \log_4(u) ) определена, если аргумент ( u > 0 ). В данном случае аргумент логарифма ( u = x^2 + 6x + 25 ).

Рассмотрим выражение ( x^2 + 6x + 25 ):

• Это квадратный трёхчлен, который существует и принимает значения для всех ( x ), так как коэффициент при ( x^2 ) положительный.
• Проверим значение ( x^2 + 6x + 25 ). Заметим, что ( x^2 + 6x + 25 ) всегда больше нуля, так как это сумма квадрата (( x^2 )), линейного члена (( 6x )) и положительной константы (( 25 )).

Таким образом, ( x^2 + 6x + 25 > 0 ) для всех ( x ), и логарифм определён для всех ( x ).

2. Упростим задачу

Функция представлена как: [ Y = \log_4(x^2 + 6x + 25) - 5. ] Заметим, что ( \log_4(x^2 + 6x + 25) ) — монотонная функция, зависящая от ( x^2 + 6x + 25 ). Чтобы найти наименьшее значение ( Y ), необходимо сначала найти минимальное значение выражения ( x^2 + 6x + 25 ), так как логарифм — монотонная функция, сохраняющая порядок.

3. Найдём минимальное значение ( x^2 + 6x + 25 )

Рассмотрим функцию ( f(x) = x^2 + 6x + 25 ), которая является квадратичной. Минимум этой функции достигается в вершине параболы, так как коэффициент при ( x^2 ) положительный.

Координата вершины параболы по формуле: [ x{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a}, ] где ( a = 1 ) и ( b = 6 ). Подставим значения: [ x{\text{вершина}} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. ]

Теперь найдём значение функции ( f(x) ) в точке ( x = -3 ): [ f(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 25 = 9 - 18 + 25 = 16. ]

Таким образом, минимальное значение ( x^2 + 6x + 25 ) равно ( 16 ), и оно достигается при ( x = -3 ).

4. Найдём значение ( Y )

Теперь подставим ( x^2 + 6x + 25 = 16 ) в исходную функцию: [ Y = \log_4(16) - 5. ] Заметим, что ( 16 = 4^2 ), поэтому: [ \log_4(16) = 2. ]

Таким образом: [ Y = 2 - 5 = -3. ]

5. Ответ

Наименьшее значение функции ( Y ) равно ( -3 ), и оно достигается при ( x = -3 ).