Y=x^4-4x+3 монотонность помогите найти
Y=x^4-4x+3 монотонность помогите найти
Для определения монотонности функции Y=x^4-4x+3 необходимо найти производную данной функции и исследовать знаки производной на интервалах.
Сначала найдем производную функции Y: Y'(x) = 4x^3 - 4
Затем найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: 4x^3 - 4 = 0 4x^3 = 4 x^3 = 1 x = 1
Теперь исследуем знаки производной на интервалах: 1) При x < 1: Y'(x) = 4x^3 - 4 < 0, следовательно, функция убывает на интервале (-∞, 1). 2) При x > 1: Y'(x) = 4x^3 - 4 > 0, следовательно, функция возрастает на интервале (1, +∞).
Таким образом, функция Y=x^4-4x+3 монотонно убывает на интервале (-∞, 1) и монотонно возрастает на интервале (1, +∞).
Чтобы определить монотонность функции ( y = x^4 - 4x + 3 ), нужно найти её производную и исследовать её знак.
Найдем первую производную функции:
( y = x^4 - 4x + 3 )
( y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x + 3) )
Применяя правила дифференцирования:
( y' = 4x^3 - 4 )
Исследуем знак первой производной:
Для этого нужно найти критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ):
( 4x^3 - 4 = 0 )
Упростим:
( 4(x^3 - 1) = 0 )
( x^3 - 1 = 0 )
( x^3 = 1 )
( x = 1 )
Таким образом, у нас есть одна критическая точка ( x = 1 ).
Определим знаки производной на промежутках, разделённых критической точкой:
Разделим числовую ось на промежутки ( (-\infty, 1) ) и ( (1, +\infty) ).
Для промежутка ( (-\infty, 1) ):
Возьмем тестовую точку, например, ( x = 0 ):
( y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 )
На этом промежутке производная отрицательна (( y' < 0 )), что означает, что функция убывает.
Для промежутка ( (1, +\infty) ):
Возьмем тестовую точку, например, ( x = 2 ):
( y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 4 \cdot 8 - 4 = 32 - 4 = 28 )
На этом промежутке производная положительна (( y' > 0 )), что означает, что функция возрастает.
Вывод:
Функция убывает на промежутке ( (-\infty, 1) ) и возрастает на промежутке ( (1, +\infty) ).
Таким образом, ( y = x^4 - 4x + 3 ) достигает локального минимума в точке ( x = 1 ).
