За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность...

Чтобы обе девочки сидели рядом, можно рассматривать их как один блок. Тогда у нас есть 8 "объектов" (7 мальчиков и 1 блок из 2 девочек), которые нужно рассадить на 9 стульев. Всего способов это сделать: 9! (перестановки 9 объектов). Учитывая, что внутри блока девочек они могут быть переставлены между собой 2! способами, вероятность того, что обе девочки сядут рядом, составляет: (2!*7!)/9! = 1/4.

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть девочек как одну группу и посчитать количество способов, которыми они могут сесть рядом за столом. У нас есть 8 возможных мест для этой группы девочек (8 пар стульев, на которых они могут сесть рядом), и 2 варианта, как девочки могут поменяться местами между собой. Таким образом, всего у нас будет 8 * 2 = 16 способов, которыми обе девочки могут сесть рядом.

Теперь найдем общее количество способов, которыми 9 человек могут сесть за стол. Это можно сделать с помощью формулы для перестановок: P(9, 9) = 9! = 362880.

Итак, вероятность того, что обе девочки сядут рядом, равна количеству благоприятных исходов (16) поделить на общее количество исходов (362880):

P = 16 / 362880 ≈ 0.0000441

Таким образом, вероятность того, что обе девочки сядут рядом, составляет примерно 0.00441%

Чтобы найти вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом за круглым столом, нужно сначала определить общее количество возможных рассадок и количество благоприятных исходов, когда девочки сидят рядом.

Общее количество возможных рассадок

Для круглого стола с ( n ) участниками количество различных способов их рассадки равно ((n-1)!). Это происходит потому, что одна позиция считается фиксированной из-за круговой симметрии. В нашем случае у нас 9 человек (7 мальчиков и 2 девочки), и общее количество способов их рассадить равно:

[ (9-1)! = 8! ]

Количество благоприятных исходов

Теперь представим, что две девочки образуют «блок» или «супер-девочку». Тогда у нас effectively 8 объектов для размещения: 6 мальчиков и 1 «супер-девочка». Теперь нам нужно рассчитать количество способов разместить эти 8 объектов за круглым столом:

[ (8-1)! = 7! ]

Однако сами девочки внутри «супер-девочки» могут поменяться местами, и это дает нам дополнительный множитель в 2 способа (перестановки девочек внутри блока).

Таким образом, количество благоприятных исходов равно:

[ 7! \times 2 ]

Вычисление вероятности

Теперь можно найти вероятность события, что девочки сидят рядом, делением количества благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

[ P = \frac{7! \times 2}{8!} ]

Упрощаем:

[ P = \frac{7! \times 2}{8 \times 7!} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} ]

Ответ

Вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом за круглым столом, составляет (\frac{1}{4}) или 25%.