Задайте формулой гиперболу y=k/x , если известно, что она проходит через точку А(-3:4). Принадлежит...

Давайте разберем задачу подробно и последовательно.

1. Формула гиперболы

Гипербола задается формулой ( y = \frac{k}{x} ), где ( k ) — константа, определяемая условиями задачи.

Нам дано, что гипербола проходит через точку ( A(-3; 4) ). Это означает, что координаты ( x = -3 ) и ( y = 4 ) удовлетворяют уравнению гиперболы. Подставим эти значения в формулу гиперболы, чтобы найти ( k ):

[ 4 = \frac{k}{-3}. ]

Умножим обе части уравнения на (-3), чтобы выразить ( k ):

[ k = -12. ]

Следовательно, уравнение гиперболы принимает вид:

[ y = \frac{-12}{x}. ]

2. Проверка принадлежности точки ( B )

Теперь нужно проверить, принадлежит ли точка ( B \left( 2\sqrt{3}; -2\sqrt{3} \right) ) графику функции ( y = \frac{-12}{x} ).

Для этого подставим ( x = 2\sqrt{3} ) и проверим, получим ли значение ( y = -2\sqrt{3} ).

Подставим ( x = 2\sqrt{3} ) в уравнение гиперболы:

[ y = \frac{-12}{x} = \frac{-12}{2\sqrt{3}}. ]

Упростим дробь:

[ y = \frac{-12}{2\sqrt{3}} = \frac{-6}{\sqrt{3}}. ]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):

[ y = \frac{-6\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3}. ]

Итак, при ( x = 2\sqrt{3} ), ( y = -2\sqrt{3} ). Это совпадает с координатой ( y ) точки ( B ). Следовательно, точка ( B(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}) ) принадлежит графику функции ( y = \frac{-12}{x} ).

Ответ:

1. Уравнение гиперболы: ( y = \frac{-12}{x} ).
2. Точка ( B(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}) ) принадлежит графику функции.

Чертеж:

Для построения графика гиперболы ( y = \frac{-12}{x} ) нужно учитывать, что:

• График состоит из двух ветвей, поскольку ( x \neq 0 ).
• Одна ветвь лежит в III квадранте (где ( x < 0 ), ( y > 0 )), другая — в IV квадранте (где ( x > 0 ), ( y < 0 )).
• График симметричен относительно начала координат.

На графике точка ( A(-3; 4) ) будет находиться на ветви в III квадранте, а точка ( B(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}) ) — на ветви в IV квадранте.

Рекомендую построить график, отметив несколько точек:

• Для ( x = -3 ), ( y = 4 );
• Для ( x = 2 ), ( y = -6 );
• Для ( x = 4 ), ( y = -3 );
• Для ( x = 1 ), ( y = -12 ).

После этого соедините точки плавной линией, чтобы получить гиперболу.

Чтобы задать уравнение гиперболы в виде ( y = \frac{k}{x} ) и выяснить, какое значение имеет константа ( k ), если известно, что гипербола проходит через точку ( A(-3, 4) ), нужно подставить координаты точки ( A ) в уравнение.

1. Подставляем координаты точки ( A(-3, 4) ):

[ 4 = \frac{k}{-3} ]

1. Теперь решим это уравнение относительно ( k ):

[ k = 4 \cdot (-3) = -12 ]

Таким образом, уравнение гиперболы будет:

[ y = \frac{-12}{x} ]

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли точка ( B(2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}) ) графику данной функции. Для этого нужно подставить координаты точки ( B ) в уравнение гиперболы и посмотреть, выполняется ли равенство.

1. Подставляем ( x = 2\sqrt{3} ) в уравнение:

[ y = \frac{-12}{2\sqrt{3}} = \frac{-12}{2\sqrt{3}} = \frac{-6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} ]

1. Сравниваем полученное значение ( y ) с координатой ( y ) точки ( B ):

[ y = -2\sqrt{3} ]

Так как полученное значение ( y ) совпадает с координатой ( y ) точки ( B ), то точка ( B ) действительно принадлежит графику функции ( y = \frac{-12}{x} ).

Таким образом, мы нашли значение ( k ) и подтвердили, что точка ( B ) принадлежит графику гиперболы.

Чтобы визуализировать это, можно нарисовать график функции ( y = \frac{-12}{x} ) и отметить точки ( A ) и ( B ).

Чертёж

1. На оси ( X ) отметьте значение ( -3 ) (точка A) и ( 2\sqrt{3} ) (точка B).
2. На оси ( Y ) отметьте значение ( 4 ) (точка A) и ( -2\sqrt{3} ) (точка B).
3. Построить график гиперболы, который будет иметь асимптоты на осях ( X ) и ( Y ).

Такой подход позволит вам визуально удостовериться, что точка ( B ) действительно лежит на графике функции.