Задайте с помощью характеристического свойства множество: А= ( 0, 1, 4, 9, 16, 25)

Чтобы задать множество ( A = { 0, 1, 4, 9, 16, 25 } ) с помощью характеристического свойства, нам нужно определить некоторые условия, которые будут выполняться для всех элементов этого множества.

Заметим, что элементы множества ( A ) являются квадратами целых чисел. В частности, это квадраты следующих чисел:

• ( 0^2 = 0 )
• ( 1^2 = 1 )
• ( 2^2 = 4 )
• ( 3^2 = 9 )
• ( 4^2 = 16 )
• ( 5^2 = 25 )

Таким образом, можно выразить множество ( A ) через характеристическое свойство следующим образом:

[ A = { x \in \mathbb{Z} \mid x = n^2, \, n \in { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } } ]

или, что более наглядно:

[ A = { n^2 \mid n \in { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } } ]

Это означает, что множество ( A ) состоит из всех чисел, которые можно получить взятием квадрата целого числа ( n ), где ( n ) принимает значения от 0 до 5 включительно.

Таким образом, характеристическое свойство позволяет однозначно определить множество ( A ) и понять, какие элементы оно включает.

Чтобы задать множество ( A = {0, 1, 4, 9, 16, 25} ) с помощью характеристического свойства, нужно найти общее правило, которому удовлетворяют все элементы множества ( A ).

Анализ множества

Обратим внимание на элементы множества: ( 0, 1, 4, 9, 16, 25 ). Это числа, которые являются квадратами натуральных чисел и числа ( 0 ). Действительно:

• ( 0 = 0^2 ),
• ( 1 = 1^2 ),
• ( 4 = 2^2 ),
• ( 9 = 3^2 ),
• ( 16 = 4^2 ),
• ( 25 = 5^2 ).

Таким образом, элементы множества ( A ) можно записать как квадраты чисел ( n ), где ( n ) — это целые числа от ( 0 ) до ( 5 ).

Характеристическое свойство

Множество ( A ) можно задать следующим образом:

[ A = { x \in \mathbb{Z} \ | \ \exists n \in \mathbb{Z}, \ 0 \leq n \leq 5, \ x = n^2 }. ]

Здесь:

• ( x \in \mathbb{Z} ) указывает, что ( x ) принадлежит множеству целых чисел;
• ( \exists n \in \mathbb{Z} ) говорит о существовании целого числа ( n ), удовлетворяющего заданному условию;
• Условие ( 0 \leq n \leq 5 ) ограничивает ( n ) целыми числами от ( 0 ) до ( 5 );
• Условие ( x = n^2 ) указывает, что ( x ) является квадратом числа ( n ).

Упрощённая запись

Если ограничиться только натуральными числами (включая ( 0 )), то множество ( A ) можно записать так:

[ A = { x \in \mathbb{N}_0 \ | \ \exists n \in \mathbb{N}_0, \ 0 \leq n \leq 5, \ x = n^2 }, ]

где ( \mathbb{N}_0 ) — множество натуральных чисел, включая ( 0 ) (( \mathbb{N}_0 = {0, 1, 2, 3, \ldots} )).

Таким образом, характеристическое свойство множества ( A ) связано с тем, что каждый элемент множества ( A ) является квадратом числа из интервала ( [0; 5] ).