Задание: Вынесите множитель из-под знака корня: а) ⁵√96m⁷n⁻¹², m≥0,m>0; б) ⁴√625a⁴b⁵, a<0, b≥0....

а) ⁵√96m⁷n⁻¹² = ⁵√(32m⁵n⁻¹²) ∙ ⁵√(3m²) б) ⁴√625a⁴b⁵ = ⁴√(25a⁴b⁴) ∙ ⁴√(b)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо представить подкоренное выражение в виде произведения, где одно из множителей является полным степенным выражением, соответствующим степени корня. Давайте разберем каждую часть задания поэтапно.

Задание (а): ⁵√96m⁷n⁻¹², m≥0, m>0

1. Разложение 96 на множители: ( 96 = 2^5 \cdot 3 )

2. Разложение переменных: ( m^7 ) и ( n^{-12} )

   Мы можем записать ( m^7 ) и ( n^{-12} ) как произведение степеней, удобных для извлечения корня пятой степени: ( m^7 = (m^5) \cdot (m^2) ) ( n^{-12} = (n^{-10}) \cdot (n^{-2}) )

3. Объединение всех частей: [ ⁵√(96m⁷n⁻¹²) = ⁵√(2^5 \cdot 3 \cdot m^7 \cdot n^{-12}) = ⁵√(2^5) \cdot ⁵√(m^5) \cdot ⁵√(m^2) \cdot ⁵√(n^{-10}) \cdot ⁵√(n^{-2}) ]

4. Извлечение корней: [ ⁵√(2^5) = 2 ] [ ⁵√(m^5) = m ] [ ⁵√(n^{-10}) = n^{-2} ]

5. Собираем все вместе: [ 2m n^{-2} ⁵√(3m^2n^{-2}) ]

Такой множитель вынесли из-под знака корня.

Задание (б): ⁴√625a⁴b⁵, a

а) Для вынесения множителя из-под знака корня ⁵√96m⁷n⁻¹² мы должны разложить число 96 на простые множители: 96 = 2^5 3. Теперь мы можем вынести множитель из-под корня, используя свойство корня n-ной степени: ⁵√96m⁷n⁻¹² = ⁵√(2^5 3 m⁷ n⁻¹²) = 2m⁷ * ⁵√(3n⁻¹²).

б) Для вынесения множителя из-под знака корня ⁴√625a⁴b⁵ мы должны разложить число 625 на простые множители: 625 = 5^4. Теперь мы можем вынести множитель из-под корня, используя свойство корня n-ной степени: ⁴√625a⁴b⁵ = ⁴√(5^4 a⁴ b⁵) = 5a⁴ * ⁴√b⁵.

Таким образом, мы вынесли множители из-под знака корня в обоих случаях.