Запишите пересечение заданных множеств А и В, если А={х|х+3 < 0}, В={х|x² + 6х - 16 ≤ 0}.
Запишите пересечение заданных множеств А и В, если А={х|х+3 < 0}, В={х|x² + 6х - 16 ≤ 0}.
Давайте разберемся с данным вопросом и найдем пересечение множеств ( A ) и ( B ).
Множество ( A ):
( A = {x \mid x + 3 < 0} ).
Это означает, что ( x < -3 ).
Множество ( B ):
( B = {x \mid x^2 + 6x - 16 \leq 0} ).
Здесь нужно решить квадратное неравенство ( x^2 + 6x - 16 \leq 0 ).
Пересечение множеств ( A \cap B ) состоит из всех ( x ), которые одновременно удовлетворяют условиям обоих множеств.
Множество ( A ) определяется линейным неравенством ( x + 3 < 0 ). Решаем его:
[
x < -3.
]
Таким образом, ( A = (-\infty, -3) ).
Рассмотрим квадратное неравенство ( x^2 + 6x - 16 \leq 0 ).
Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения ( x^2 + 6x - 16 = 0 ).
Применим формулу для корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где ( a = 1 ), ( b = 6 ), ( c = -16 ). Подставляем значения:
[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2}.
]
[
x = \frac{-6 \pm 10}{2}.
]
Получаем два корня:
[
x_1 = \frac{-6 + 10}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-6 - 10}{2} = -8.
]
Корни уравнения: ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -8 ).
Теперь определим знаки квадратичной функции ( x^2 + 6x - 16 ) на промежутках, используя метод интервалов.
Разбиваем числовую ось на три промежутка по корням:
[
(-\infty, -8), \quad (-8, 2), \quad (2, \infty).
]
Проверяем знаки выражения ( x^2 + 6x - 16 ) на каждом из этих промежутков:
На ( (-\infty, -8) ): подставим, например, ( x = -9 ):
[
(-9)^2 + 6(-9) - 16 = 81 - 54 - 16 = 11 > 0.
]
Значение положительное.
На ( (-8, 2) ): подставим, например, ( x = 0 ):
[
(0)^2 + 6(0) - 16 = -16 \leq 0.
]
Значение отрицательное.
На ( (2, \infty) ): подставим, например, ( x = 3 ):
[
(3)^2 + 6(3) - 16 = 9 + 18 - 16 = 11 > 0.
]
Значение положительное.
Таким образом, квадратичное неравенство ( x^2 + 6x - 16 \leq 0 ) выполняется на промежутке ( [-8, 2] ).
Итак, множество ( B = [-8, 2] ).
Теперь пересечение множеств ( A = (-\infty, -3) ) и ( B = [-8, 2] ) состоит из всех ( x ), которые принадлежат обоим множествам.
Пересечение:
[
A \cap B = (-\infty, -3) \cap [-8, 2] = [-8, -3).
]
Пересечение множеств ( A ) и ( B ):
[
A \cap B = [-8, -3).
]
Для нахождения пересечения множеств ( A ) и ( B ) сначала нужно определить их элементы.
Множество ( A ): Задано неравенство: [ x + 3 < 0 ] Решим его: [ x < -3 ] Таким образом, множество ( A ) можно записать как: [ A = { x \mid x < -3 } ]
Множество ( B ): Задано неравенство: [ x^2 + 6x - 16 \leq 0 ] Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: [ x^2 + 6x - 16 = 0 ] Для этого используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 ] Корни уравнения: [ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 10}{2} = -8 ] [ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2} = 2 ] Теперь нам нужно определить, на каком интервале функция ( x^2 + 6x - 16 ) принимает значения, удовлетворяющие неравенству ( \leq 0 ).
Для этого рассмотрим знак выражения на интервалах, определенных корнями ( x_1 = -8 ) и ( x_2 = 2 ):
Таким образом, неравенство ( x^2 + 6x - 16 \leq 0 ) выполняется на интервале: [ B = { x \mid -8 \leq x \leq 2 } ]
Теперь найдем пересечение множеств ( A ) и ( B ): [ A = { x \mid x < -3 } ] [ B = { x \mid -8 \leq x \leq 2 } ]
Пересечение ( A \cap B ) — это все значения ( x ), которые одновременно удовлетворяют обоим условиям:
Таким образом, пересечение осуществляется на интервале: [ -8 \leq x < -3 ]
Запишем это множество: [ A \cap B = { x \mid -8 \leq x < -3 } ]
Или в интервале: [ A \cap B = [-8, -3) ]
Это и есть ответ на ваш вопрос.
