Зная, что sint =4/5, П/2<t<П, вычислите cos(П/6+t)

Чтобы вычислить (\cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right)), зная, что (\sin t = \frac{4}{5}) и (\frac{\pi}{2} < t < \pi), можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

1. Определим (\cos t): Поскольку (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), мы можем найти (\cos t) следующим образом: [ \sin t = \frac{4}{5} \implies \sin^2 t = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} ] Тогда [ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ] Поскольку (t) находится во втором квадранте ((\frac{\pi}{2} < t < \pi)), (\cos t) будет отрицательным: [ \cos t = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} ]

2. Используем формулу суммы углов для косинуса: Формула для косинуса суммы углов выглядит так: [ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b ] Здесь (a = \frac{\pi}{6}) и (b = t).

3. Находим (\cos \frac{\pi}{6}) и (\sin \frac{\pi}{6}): [ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} ]

4. Применяем значения в формулу: [ \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) = \cos \frac{\pi}{6} \cos t - \sin \frac{\pi}{6} \sin t ] Подставляем известные значения: [ \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} ]

5. Выполняем умножение: [ \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} ]

6. Приводим к общему знаменателю: [ \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{10} - \frac{4}{10} = -\frac{3\sqrt{3} + 4}{10} ]

Таким образом, (\cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) = -\frac{3\sqrt{3} + 4}{10}).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для нахождения cos(α+β), которая выглядит следующим образом: cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ.

У нас дано, что sin t = 4/5 и π/2 < t < π. Мы также знаем, что t принадлежит второй четверти, где sin t > 0, а cos t < 0. Таким образом, sin t = 4/5 и cos t = -3/5.

Теперь мы должны найти cos(π/6 + t). Для этого сначала найдем sin(π/6 + t) и cos(π/6 + t). Мы знаем, что sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2.

Теперь вычислим sin(π/6 + t): sin(π/6 + t) = sin(π/6)cos(t) + cos(π/6)sin(t) sin(π/6 + t) = (1/2)(-3/5) + (√3/2)(4/5) sin(π/6 + t) = -3/10 + 2√3/10 sin(π/6 + t) = (2√3 - 3)/10

Теперь вычислим cos(π/6 + t): cos(π/6 + t) = cos(π/6)cos(t) - sin(π/6)sin(t) cos(π/6 + t) = (√3/2)(-3/5) - (1/2)(4/5) cos(π/6 + t) = -3√3/10 - 2/10 cos(π/6 + t) = (-3√3 - 2)/10

Таким образом, cos(π/6 + t) = (-3√3 - 2)/10.

cos(π/6 + t) = cos(π/6)cos(t) - sin(π/6)sin(t) = √3/2 cos(t) - 1/2 sin(t)