Зная,что cost=8/17, 3п/2<t<2п вычислите cos(3п/4+t)

cos(3π/4 + t) = cos(3π/4)cos(t) - sin(3π/4)sin(t) cos(3π/4) = -√2/2 sin(3π/4) = √2/2

cos(3π/4 + t) = -√2/2 cos(t) - √2/2 sin(t)

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса суммы углов:

cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

Так как у нас дано значение cos(t) и диапазон угла t, мы можем найти sin(t) по формуле Пифагора:

sin(t) = ±√(1 - cos^2(t))

Из условия cos(t) = 8/17, sin(t) = ±√(1 - (8/17)^2) = ±√(1 - 64/289) = ±√(225/289) = ±15/17

Теперь мы можем найти cos(3π/4 + t) используя формулу для суммы углов:

cos(3π/4 + t) = cos(3π/4) cos(t) - sin(3π/4) sin(t)

cos(3π/4) = cos(π/2 + π/4) = -sin(π/4) = -√2/2 sin(3π/4) = sin(π/2 + π/4) = cos(π/4) = √2/2

cos(3π/4 + t) = (-√2/2) (8/17) - (√2/2) (±15/17) cos(3π/4 + t) = -4√2/17 ± 15√2/34

Таким образом, cos(3π/4 + t) = -4√2/17 ± 15√2/34, в зависимости от знака sin(t).

Чтобы вычислить (\cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right)), сначала рассмотрим, в каком квадранте находится угол (t). Учитывая, что (\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi), угол (t\) находится в четвертом квадранте. В этом квадранте косинус положителен.

Теперь используем формулу для косинуса суммы углов: [ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b ]

Применим эту формулу к (\cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right)): [ \cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right) = \cos\frac{3\pi}{4} \cos t - \sin\frac{3\pi}{4} \sin t ]

Известно, что: [ \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Также дано, что (\cos t = \frac{8}{17}). Теперь нам нужно найти (\sin t). Мы знаем, что (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), поэтому: [ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} ]

Следовательно, (\sin t = \pm \frac{15}{17}). Поскольку (t) находится в четвертом квадранте, где синус отрицателен, (\sin t = -\frac{15}{17}).

Теперь подставим найденные значения в формулу: [ \cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{8}{17} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) ]

Выполним арифметические операции: [ \cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right) = -\frac{8\sqrt{2}}{34} + \frac{15\sqrt{2}}{34} ]

Объединим дроби: [ \cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right) = \frac{-8\sqrt{2} + 15\sqrt{2}}{34} = \frac{7\sqrt{2}}{34} ]

Таким образом, (\cos\left(\frac{3\pi}{4} + t\right) = \frac{7\sqrt{2}}{34}).